더 알아보기
어떻게 계산하나요
- a, b, c를 넣으면 판별식, 정확한 해, 소수 어림값, 풀이 과정을 한 번에 보여 줘요.
- 근의 공식은 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, √ 안의 b² − 4ac가 판별식이에요.
- 2x² + 3x − 1 = 0의 해 x = (−3 ± √17)/4처럼 √를 간단히 한 꼴로 보여 줘요.
- D < 0이면 x = −1 ± 2i처럼 허근으로 풀고, b가 짝수면 짝수 공식 풀이도 함께 보여 줘요.
자주 나오는 이차방정식 풀이
| 방정식 | 판별식 D | 해 |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 2 또는 x = 3 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 0 | 2 (중근) |
| 2x² + 3x − 1 = 0 | 17 | (−3 ± √17)/4 |
| x² + 2x − 2 = 0 | 12 | −1 ± √3 |
| 6x² + 5x − 6 = 0 | 169 | −3/2 또는 x = 2/3 |
| x² − 2 = 0 | 8 | ±√2 |
| x² + 2x + 5 = 0 | −16 | −1 ± 2i |
| x² + x + 1 = 0 | −3 | (−1 ± √3i)/2 |
√ 안은 가장 간단하게, 분자와 분모는 약분한 꼴이에요.
근의 공식이란
이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해를 a, b, c만으로 바로 구하는 공식이에요. 인수분해가 안 되는 방정식도 이 공식이면 풀려요.
예를 들어 2x² + 3x − 1 = 0은 a = 2, b = 3, c = −1을 넣으면 x = (−3 ± √17)/4처럼 풀려요.
근의 공식 유도: 완전제곱식으로
근의 공식은 ax² + bx + c = 0을 완전제곱식으로 바꿔서 얻어요.
- 양변을 a로 나눠요. x² + (b/a)x + c/a = 0
- 상수항을 오른쪽으로 옮겨요. x² + (b/a)x = −c/a
- 양변에 x의 계수의 절반의 제곱 (b/2a)²을 더해요. (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a²
- 양변의 제곱근을 구해요. x + b/2a = ±√(b² − 4ac) / 2a
- b/2a를 오른쪽으로 옮기면 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
판별식 D = b² − 4ac로 근의 개수 알기
근의 공식에서 √ 안의 b² − 4ac를 판별식 D라고 해요. 직접 풀지 않아도 D의 부호만 보면 근이 몇 개인지 알 수 있어요.
x² − 5x + 6 = 0은 D = 1로 0보다 커서 두 근 2와 3을 가져요. x² − 4x + 4 = 0은 D = 0이라 중근 x = 2만 있어요.
짝수 공식: b가 짝수일 때
b가 짝수면 b = 2b′로 놓고 더 작은 수로 계산할 수 있어요. 결과는 근의 공식과 똑같아요.
x² + 2x − 2 = 0은 b′ = 1, b′² − ac = 1 + 2 = 3이라 x = −1 ± √3이에요.
D < 0이면 허근
중학교에서는 실근이 있는 경우만 다뤄서 D가 음수면 근이 없다고 해요. 고등학교 1학년에서 i² = −1인 허수 i를 배우면 √(−16) = 4i처럼 계산해서 허근을 구해요.
x² + 2x + 5 = 0은 D = −16이라 x = −1 ± 2i예요. 허근은 늘 p ± qi처럼 짝(켤레)으로 나와요.
판별식으로 근의 종류 알기
| 판별식 | 근 | 그래프 y = ax² + bx + c |
|---|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 | x축과 두 점에서 만나요 |
| D = 0 | 중근 | x축에 한 점에서 닿아요 |
| D < 0 | 서로 다른 두 허근(실근 없음) | x축과 만나지 않아요 |
자주 묻는 질문
근의 공식은 무엇인가요?
ax² + bx + c = 0의 해는 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a예요. 완전제곱식으로 바꿔서 얻은 공식이라 모든 이차방정식에 쓸 수 있어요.
판별식이 음수면 해가 없나요?
실수 범위에서는 근이 없어요. 고등학교에서 배우는 복소수 범위에서는 서로 다른 두 허근이 있어요. 이 계산기는 허근도 p ± qi 꼴로 보여 줘요.
짝수 공식은 언제 쓰나요?
b가 짝수일 때 써요. b′ = b ÷ 2로 놓고 x = (−b′ ± √(b′² − ac)) / a로 풀면 숫자가 작아져서 약분할 일이 줄어요.
a에 0을 넣으면 어떻게 되나요?
x²이 사라져 일차방정식 bx + c = 0이 돼요. 이 계산기는 이때 x = −c ÷ b로 풀어 줘요.
분수나 소수 계수도 넣을 수 있나요?
네. 1/2이나 0.5처럼 넣으면 분모를 없애려고 양변에 같은 수를 곱한 뒤 정수 계수로 풀어요.
무엇을 보고 계산했나요
- 중학교 3학년 수학 교과 과정의 이차방정식(인수분해, 완전제곱식, 근의 공식). 중학교에서는 실근을 갖는 경우만 다뤄요
- 2022 개정 교육과정 고등학교 공통수학1 성취기준 [10공수1-02-01]~[10공수1-02-03]: 복소수, 이차방정식의 실근과 허근, 판별식, 근과 계수의 관계
2026년 10월 6일에 기준을 다시 확인했어요.
계산에 넣지 않은 것
- 삼차 이상의 방정식
- 연립방정식과 이차부등식
- 계수에 √나 허수가 들어간 방정식
- 그래프 그리기